Математики решили древний пазл: a4 + b4 + c4 + d4 = (a + b + c + d)4
 Кривые Эйлера (кликните картинку для увеличения) |
|
||||||||
Многие уравнения в математике выглядят как пазлы - не существует методов их решения. Поэтому для каждого уравнения приходится придумывать нестандартный подход. При этом численные методы не всегда в состоянии дать ответ на вопрос о возможном количестве решений. Иногда даже не получается ответить на вопрос о том, счетно или нет данное количество решений.
В более общем случае, задача, над которой работали Мейден и Якоби, - это задача поиска переменных, удовлетворяющих Диофантову уравнению четвертого порядка. В общем виде такие уравнения неразрешимы. Это было доказано Ю. Матиясевечем в 1970 г. в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова РАН.
Простейшее уравнение, над которым работали Мейден и Якоби можно записать в виде:
a4 + b4 + c4 + d4 = (a+b+c+d)4. Для данного случая математики не только нашли решение, но и показали метод нахождения таких решений.
Работу над этим уравнением Якоби начал, используя известный математический пакет Mathematica и основываясь на знаниях и опыте, которые он получил на предыдущей работе по решению Диофантовых уравнений в приложении для динамики протяженных объектов или так называемой теории струн.
Первое решение, найденное Якоби, было большим и содержало около 200 знаков. Оно отличалось от всех известных до этого времени решений. Якоби поделился своими результатами с Мейденом. Как всегда бывает в таких случаях, при переписывании такого огромного количества знаков было допущено много ошибок, и Мейден увидел решение, которое стало неверным.
Ошибка была незначительной и очень быстро была исправлена, но, что самое удивительное, новое решение было отлично от первоначально найденного. Таким образом, с помощью эллиптических кривых, внося изменения в уже существующие решения, Мейден и Якоби начали получать новые наборы решений, показав методику нахождения таких решений. Основываясь на этой методике, можно сказать, что количество таких решений бесконечно.
Решение этой задачи было бы невозможно без использования современных вычислительных мощностей, доступных в современных компьютерах. Можно предположить, что многие древние задачи из теории чисел будут решены в ближайшее время с использованием брутальной компьютерной силы, а не изящных математических выкладок, но истина от этого не пострадать должна.
Источники:
- American Mathematical Monthly, 2008, 3, 220-236
- Университет Аризоны